Vektorski i mešoviti proizvod vektora

#fax #math #laag [deo poglavlja "vektor"]

je pozitivna trojka vektora ako su predstavnici vektora takve da gledajući sa kraći put od do je u smeru suprotnom od smera satne kazaljke; inače je negativna.

Pozitivnost/negativnost trojke se menja ako:

  • Dva vektora se menjaju mestima.
  • Jedan vektor se množi sa negativnim brojem.

Na primer ako je pozitivna onda
, i su negativne;
, i su pozitivne.

Vektorski i mešoviti proizvod

Def. Vektorski (spoljašnji) proizvod je funkcija , takva da

  1. — dužina
    (površina paralelograma određenog sa )
  2. — pravac
  3. je pozitivna trojka — orijentacija

Oznake:

Def. Mešoviti proizvod je funkcija , takva da

Teorema. je zapremina paralelepipeda određenog sa
je zapremina tetraedra određenog sa

Stav.
trojka je pozitivna.
trojka je negativna.
vektori su linearno zavisni (komplanarni).

Teorema (Svojstva). i važe:

  • v1)
  • v2)
  • v3)
  • v4)

(v2 i v3 važe za drugo mesto koristeći v1)

  • m1)
  • m2)
  • m3)
  • m4)

(m3 i m4 važe za drugo i treće mesto koristeći m2)
(iz m1 i m2 sledi: promena mesta dva vektora menja znak)

Dokazi:
v1 i v2 iz definicije vektorskog proizvoda.
m1 i m3 iz v1 i v2.

m2) Iz prethodne teoreme je zapremina paralelepipeda određenog sa
— Ako i su sa jedne strane od ravne je pozitivna trojka i su sa jedne strane od ravne
— Ako i su sa različitih strana od ravne je negativna trojka i su sa različitih strana od ravne
Dakle,

m4)

v3)

v4 ćemo dokazati kasnije.

Vektorski i mešoviti proizvod u koordinatama

Neka je ortonormirana baza vektorskog prostora .

Asimetričan Kronekerov simbol:




Neasocijativnost

Teorema.

Posledica. je neasocijativna.

Dokaz:

pps je asocijativna, tada:

Što ne važi za , na primer:

odakle Tada Kontradikcija.

Dokaz v4:
Iz teoreme