Veza između određenog integrala i izvoda. Njutn-Lajbnicova formula

#fax #math #a2 [deo poglavlja "određeni integral"]

Oznake za sledeće teoreme:
; def. sa

Teorema. .

Dokaz: Neka je
— proizvoljno. Treba dokazati , tj.

Za proizvoljno naći .

Teorema. , i važi
; ;

Dokaz:
proizvoljno
da važi

Iz stava i zbog toga što važi dobijamo:
Postoji između ili jednako i takvo da

Kad , . Imamo desni limes i ;
Kad , . Imamo levi limes i ;
Kad , dobijamo

Jer i , dobija se da tj.

Posledica. Teorema. — primitivna za na

Dokaz:
proizvoljno.
def. sa
je korektno definisana jer

proizvoljno
da važi

Dakle, .
Tj. je primitivna za na

Teorema (Njutn-Lajbnicova formula). Neka je i neka je neka primitivna za na . Tada

je primitivna za na

Dokaz:
Iz teoreme — primitivna za na
i su primitivne